Как проверить сайт на наличие багов, дублей страниц - всевозможной кривизны? вообщем сделать его максимально оптимизированным, вот ссылка на сайт http://tend.kiev.ua/
Вначале Вам нужна либо адаптивная верстка, либо верстка для мобильных устройств. По поводу дублей, багов, 404 - это все SEO программы: Page Weight, Comparser и другие.
Кстати, между тем добавлю, что есть много инструментов и от гугла, которые помогут Вам аудит провести. Например, PageSpeed Insights проверит скорость загрузки страниц, поищите в Google Developers. Также можно проверить сайт на адаптивность на мобильных устройствах, такой инструмент там есть mobile friendly. Битые ссылки проверяйте на сервисах броукен линкс или броукен урл, примерно так они будут называться. Не хочу вставлять ссылку на свой, а то за рекламу сочтут. Ну а для подсветки тегов, пагинации обратитесь к SEOШникам, может поделятся скриптами. Еще хорошо бы Вам заполучить скрипт, которые будет показывать файл роботс, тег стронг и основные метатеги.